Scherungsbeweis des Höhensatzes

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Der Doppelpfeil rechts oben bringt dir die Ausgangssituation wieder.

Gerald Obermaier, erstellt mit GeoGebra

Unter Scherung eines Rechtecks (Quadrats) versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks (Quadrats) in ein flächengleiches Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe (oder umgekehrt).
Über mehrere Scherungen soll im vorliegenden Beispiel der Höhensatz im rechtwinkeligen Dreieck bewiesen werden, der besagt, dass das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich dem Rechteck der beiden Hypotenusenabschnitte ist.

01. Aktiviere Kontrollkästchen a.
02. Der zu beweisende Höhensatz wird dargestellt.
03. Aktiviere Kontrollkästchen b.
04. Ziehe P_1 entlang der roten Strecke bis zum Anschlag.
05. Aktiviere Kontrollkästchen c.
06. Ziehe P_2 entlang der grauen Strecke bis zum Anschlag.
07. Aktiviere Kontrollkästchen d.
08. Ziehe P_3 bis zum Höhenfußpunkt H.
09. Aktiviere Kontrollkästchen e.
10.Ziehe P_4 entlang des roten Bogens bis zum Anschlag.

Du hast nun das Quadrat über h in das flächengleiche Rechteck p.q übergeführt.
Daher gilt:

h² = p . q