Gerald Obermaier, erstellt mit |
Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)
eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer
der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel).
Im unteren Beispiel: gelb = 2*(rot + blau)
Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen
ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich 180° (ein
gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich 90°, also rechte
Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall
des Peripheriewinkelsatzes.
Beweis:
Das Dreieck ABC wird durch die 3 gleichlangen Strecken (Radius!) AM, BM und CM
in 3 gleichschenkelige Dreiecke geteilt.
Für die Winkel gilt:
grün + grün + gelb = 180°; daher: 2*grün = 180° -
gelb.
Weiters gilt: 2*grün + 2*rot
+ 2*blau = 180°; daher: 180° - gelb + 2*rot + 2*blau
= 180°
Durch Äquivalenzumformung der letzten Gleichung gilt:
gelb = 2*rot + 2*blau bzw. gelb/2 = rot + blau bzw.
gelb = 2*(rot + blau) |