Der Peripheriewinkelsatz

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Gerald Obermaier, erstellt mit GeoGebra

Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel).
Im unteren Beispiel: gelb = 2*(rot + blau)
Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich 180° (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich 90°, also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes.

Beweis:
Das Dreieck ABC wird durch die 3 gleichlangen Strecken (Radius!) AM, BM und CM in 3 gleichschenkelige Dreiecke geteilt.
Für die Winkel gilt:
grün + grün + gelb = 180°; daher: 2*grün = 180° - gelb.
Weiters gilt: 2*grün + 2*rot + 2*blau = 180°; daher: 180° - gelb + 2*rot + 2*blau = 180°
Durch Äquivalenzumformung der letzten Gleichung gilt:
gelb = 2*rot + 2*blau bzw. gelb/2 = rot + blau bzw.
gelb
= 2*(rot + blau)