Der Südpolsatz

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Der Südpolsatz ist ein geometrischer Satz aus der Dreieckslehre. Er besagt, dass sich in einem Dreieck die Streckensymmetrale einer Seite und die Winkelsymmetrale durch die gegenüberliegende Ecke immer auf dem Umkreis schneiden. Der Schnittpunkt wird auch Südpol genannt.
Du kannst den Eckpunkt C des Dreiecks mit der Maus verschieben. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) Beweis:
Der Satz soll für die Streckensymmetrale s von c und die Winkelsymmetrale w von Gamma begründet werden.

Südpol_1 sei definiert als derjenige Schnittpunkt der Streckensymmetrale s von c mit dem Umkreis, der nicht auf der gleichen Seite von AB liegt wie die Ecke C.

Ist U der Umkreismittelpunkt, so ist der Winkel [A,C,Südpol_1] halb so groß wie der Winkel [A,U,Südpol_1], da es sich um den Peripheriewinkel und Zentriwinkel über dem Kreisbogen [A,Südpol_1] handelt.
Entsprechend ist der Winkel [Südpol_1,C,B] halb so groß wie der Winkel [Südpol_1,U,B]. Da die Winkel [A,U,Südpol_1] und [Südpol_1,U,B] aus Symmetriegründen gleich groß sind, müssen auch die Winkel [A,C,Südpol_1] und [Südpol_1,C,B] gleich groß sein.

Daraus folgt: Südpol_1 muss auf der Winkelsymmetralen w des Winkels Gamma [A,C,B] liegen.

Gerald Obermaier, erstellt mit GeoGebra