| Der Südpolsatz
Der Südpolsatz ist ein geometrischer Satz aus der
Dreieckslehre. Er besagt, dass sich in einem Dreieck die Streckensymmetrale
einer Seite und die Winkelsymmetrale durch die gegenüberliegende
Ecke immer auf dem Umkreis schneiden. Der Schnittpunkt wird auch Südpol
genannt.
Du kannst den Eckpunkt C des Dreiecks mit der Maus verschieben.
Beweis:
Der Satz soll für die Streckensymmetrale s von c und die Winkelsymmetrale
w von Gamma begründet werden.
Südpol_1 sei definiert als
derjenige Schnittpunkt der Streckensymmetrale s von c mit
dem Umkreis, der nicht auf der gleichen
Seite von
AB liegt wie die Ecke
C.
Ist U der Umkreismittelpunkt, so ist der
Winkel [A,C,Südpol_1] halb so groß wie
der Winkel [A,U,Südpol_1], da es sich um den Peripheriewinkel und Zentriwinkel über
dem Kreisbogen [A,Südpol_1] handelt.
Entsprechend ist der Winkel [Südpol_1,C,B] halb so
groß wie
der Winkel [Südpol_1,U,B]. Da die Winkel [A,U,Südpol_1] und [Südpol_1,U,B]
aus Symmetriegründen
gleich groß sind, müssen auch die Winkel [A,C,Südpol_1] und [Südpol_1,C,B]
gleich groß sein.
Daraus folgt: Südpol_1 muss
auf der Winkelsymmetralen w des Winkels Gamma [A,C,B]
liegen.
Gerald Obermaier, erstellt mit |